Los numeros Racionales

Tarea 1 de la unidad 2.

Lea el tema titulado Números Racionales, Irracionales y Reales, el cual corresponde a la unidad II en el libro de texto básico, también puedes consultar otras fuentes si lo deseas, luego elaboras un cuadro sinóptico del tema.  

Los números racionales

Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros. Por ejemplo, las fracciones 1/3 y –1111/8 ambas son números racionales. Todos los enteros están incluídos en los números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z/1.

Todos los decimales que terminan son números racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.) Los decimales que tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son racionales: por ejemplo,

0.083333333... = 1/12.

El conjunto de números racionales es cerrado bajo las 4 operaciones básicas, esto es, dados cualesquiera dos números racionales, su suma, diferencia, producto, y cociente también es un número racional (siempre que no dividamos entre 0.)

Los números irracionales

Un número irracional es un número que no puede ser escrito como una relación (o fracción). En forma decimal, nunca termina o se repite. Los antiguos griegos descubrieron que no todos los números son racionales; hay ecuaciones que no pueden ser resueltas usando relaciones de enteros.

La primera ecuación a ser estudiada fue 2 = x2. Qué número por sí mismo es igual a 2?

La  es alrededor de 1.414, porque 1.4142 = 1.999396, que está cerca de 2. Pero Usted nunca lo hallará elevando al cuadrado una fracción (o decimal terminante). La raíz cuadrada de 2 es un número irracional, que significa que su decimal equivalente continua por siempre, con ningún patrón repetitivo:

Nota histórica:

De acuerdo a la leyenda, los antiguos matemáticos griegos que probaron que  NO podría ser escrito como una relación de enteros p/q hicieron enojar tanto a sus colegas, que los pusieron en un barco y los ahogaron!

Otros números irracionales famosos son la Relación Dorada, un número con gran importancia en la biología:

π (pi), la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro:

π = 3.14159265358979...

y e, el número más importante en calculo:

e = 2.71828182845904...

Los números irracionales pueden ser subdivididos aún más en números algebraicos, que son las soluciones de alguna ecuación polinomial (como la  y la Relación Dorada), y los números transcendentales, que no son las soluciones de cualquier ecuación polinomial. π y e ambos son transcendentales.

Los números reales

Los números reales es el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y de todos los números irracionales. Los números reales son “todos los números” en la recta numérica. Hay infinitamente muchos números reales así como hay infinitamente muchos números en cada uno de los otros conjuntos de números. Pero, puede probarse que el infinito de los números reales es un infinito muy grande.

El "más pequeño", o infinito contable de los enteros y racionales es algunas veces llamado ₀ (alef-naught), y el infinito incontable de los reales es llamado ₁ (alef-one).

Hay incluso infinitos "más grandes", pero debe tomar una clase de teoría de conjuntos para eso!